Найдите значение выражения . 2sinα-3cosα /4sinα+5cosα , если tgα/2=3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем значение sinα и cosα, зная что tgα/2=3.

tgα/2 = sinα / (1 + cosα) = 3

sinα = 3(1 + cosα)

sin^2α = 9(1 + cosα)^2 = 9(1 + 2cosα + cos^2α)
sin^2α = 9 + 18cosα + 9cos^2α

Также известно, что cos^2α = 1 - sin^2α.

cos^2α = 1 - 9 - 18cosα - 9cos^2α
10cos^2α + 18cosα - 8 = 0

cosα = (-18 ± sqrt(18^2 - 410(-8))) / (2*10)
cosα = (-18 ± sqrt(324 + 320)) / 20
cosα = (-18 ± sqrt(644)) / 20
cosα ≈ (-18 ± 25.39) / 20
cosα ≈ (-18 + 25.39) / 20 или cosα ≈ (-18 - 25.39) / 20
cosα ≈ 0.3696 или cosα ≈ -2.1696

sinα ≈ 3(1 + 0.3696) ≈ 4.109

Теперь найдем значение выражения:

2sinα - 3cosα / 4sinα + 5cosα
2(4.109) - 3(0.3696) / 4(4.109) + 5(0.3696)
8.218 - 1.1088 / 16.436 + 1.848
7.1092 / 18.284
≈ 0.3896

Ответ: 0.3896