Определите все a, при каждом из которых уравнение 5sin x + 12cos x = a - 2 имеет хотя бы одно решение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти все значения a, при которых уравнение 5sin x + 12cos x = a - 2 имеет хотя бы одно решение, рассмотрим левую часть уравнения: 5sin x + 12cos x.

Эту выражение можно представить в виде одного синуса или косинуса с помощью формулы сложения:
5sin x + 12cos x = √(5^2 + 12^2) * sin(x+α),
где α - угол, такой что sin α = 5/13 и cos α = 12/13.

Имеем: 5sin x + 12cos x = 13sin(x+α).

Таким образом, уравнение принимает вид: 13sin(x+α) = a - 2.

Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно чтобы правая часть a - 2 лежала в диапазоне от -13 до 13 (так как |13sin(x+α)| <= 13).

Итак, все значения a, при которых уравнение 5sin x + 12cos x = a - 2 имеет хотя бы одно решение - это все a из интервала [-11, 15].