1)Доказать,что функция F(x)=2x^4-x^3+3x+4 является первообразной функции f(x)=8x^3-3x^2+3 на всей числовой прямой. 2) Найти одну из первообразных функции а) 10x^4-7 б)4cosX+3sinX 3)Найти все первообразные функции 3/x+4/x^3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для доказательства того, что функция F(x)=2x^4-x^3+3x+4 является первообразной функции f(x)=8x^3-3x^2+3 на всей числовой прямой, нужно найти производную функции F(x) и убедиться, что она равна функции f(x).

Найдем производную функции F(x):
F'(x) = d/dx (2x^4-x^3+3x+4)
F'(x) = 8x^3 - 3x^2 + 3

Теперь сравним производную функции F(x) с функцией f(x):
f(x) = 8x^3 - 3x^2 + 3

Мы видим, что F'(x) = f(x), следовательно, функция F(x) является первообразной функции f(x) на всей числовой прямой.

2) а) Одной из первообразных функции 10x^4 - 7 может быть F(x) = 10/5 x^5 - 7x + C, где C - произвольная постоянная.

б) Одной из первообразных функции 4cos(x) + 3sin(x) может быть F(x) = 4sin(x) - 3cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

3) Чтобы найти все первообразные функции 3/x + 4/x^3, нужно разложить каждое слагаемое на простейшие дроби и найти их интегралы:

3/x = 3 (1/x)
Интеграл от 3/x dx = 3 ln|x| + C1, где C1 - произвольная постоянная.

4/x^3 = 4 * (1/x^3)
Интеграл от 4/x^3 dx = -2/x^2 + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Итак, все первообразные функции для функции 3/x + 4/x^3 будут иметь вид:
F(x) = 3 * ln|x| - 2/x^2 + C, где C - произвольная постоянная.