Известно, что тангенс угла a равен отношению синуса косинуса: tg a = sin a / cos a = 2.
Следовательно, sin a = 2cos a.
Теперь можем выразить cos^2 a через sin a:
cos^2 a = (1 - sin^2 a) / (1 + sin^2 a) = (1 - (2cos a)^2) / (1 + (2cos a)^2) = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a).
Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:
cos^2 a - sin^2 a = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a) - (2cos a)^2 = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a) - 4cos^2 a = (1 - 4cos^2 a - 4cos^2 a(1 + 4cos^2 a)) / (1 + 4cos^2 a) = (1 - 4cos^2 a - 4cos^2 a - 16cos^4 a) / (1 + 4cos^2 a) = (1 - 8cos^2 a - 16cos^4 a) / (1 + 4cos^2 a).
Теперь заменим cos^2 a на x:
(1 - 8x - 16x^2) / (1 + 4x).
Это и есть итоговое выражение для данного косинуса и синуса, когда tg a = 2.
Известно, что тангенс угла a равен отношению синуса косинуса: tg a = sin a / cos a = 2.
Следовательно, sin a = 2cos a.
Теперь можем выразить cos^2 a через sin a:
cos^2 a = (1 - sin^2 a) / (1 + sin^2 a) = (1 - (2cos a)^2) / (1 + (2cos a)^2) = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a).
Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:
cos^2 a - sin^2 a = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a) - (2cos a)^2 = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a) - 4cos^2 a = (1 - 4cos^2 a - 4cos^2 a(1 + 4cos^2 a)) / (1 + 4cos^2 a) = (1 - 4cos^2 a - 4cos^2 a - 16cos^4 a) / (1 + 4cos^2 a) = (1 - 8cos^2 a - 16cos^4 a) / (1 + 4cos^2 a).
Теперь заменим cos^2 a на x:
(1 - 8x - 16x^2) / (1 + 4x).
Это и есть итоговое выражение для данного косинуса и синуса, когда tg a = 2.