Cos^2 a - sin^2 a, если tg a=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что тангенс угла a равен отношению синуса косинуса: tg a = sin a / cos a = 2.

Следовательно, sin a = 2cos a.

Теперь можем выразить cos^2 a через sin a:

cos^2 a = (1 - sin^2 a) / (1 + sin^2 a) = (1 - (2cos a)^2) / (1 + (2cos a)^2) = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a).

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение:

cos^2 a - sin^2 a = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a) - (2cos a)^2 = (1 - 4cos^2 a) / (1 + 4cos^2 a) - 4cos^2 a = (1 - 4cos^2 a - 4cos^2 a(1 + 4cos^2 a)) / (1 + 4cos^2 a) = (1 - 4cos^2 a - 4cos^2 a - 16cos^4 a) / (1 + 4cos^2 a) = (1 - 8cos^2 a - 16cos^4 a) / (1 + 4cos^2 a).

Теперь заменим cos^2 a на x:

(1 - 8x - 16x^2) / (1 + 4x).

Это и есть итоговое выражение для данного косинуса и синуса, когда tg a = 2.