Как найти объем тела, ограниченного поверхностью x^2+y^2+z^2=2x+3y?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема тела, ограниченного поверхностью x^2+y^2+z^2=2x+3y, необходимо воспользоваться методом двойного интеграла.

Сначала выразим z через x и y:

z^2 = 2x + 3y - x^2 - y^2
z^2 = -x^2 + 2x - y^2 + 3y
z^2 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 - (y^2 - 3y + 9) + 9
z^2 = -(x-1)^2 - (y-3)^2 + 10

Теперь определяем пределы интегрирования для x и y. Для этого находим точки пересечения поверхности с осями координат:

x^2 + y^2 + z^2 = 2x + 3y
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 3y + 9 = 2x + 3y
(x-1)^2 + (y-3)^2 = 0

Отсюда получаем, что точка пересечения - (1,3,0).

Теперь формула для объема тела в трехмерном пространстве:

V = ∬(D) f(x,y,z) dxdy

Для уже найденного уравнения поверхности, f(x,y,z) = 1, а D - область, ограниченная уравнением поверхности и плоскостью XY.

Таким образом, объем тела равен интегралу от единицы по области D.