Положительные числа a, b, c удовлетворяют равенству a + b + c = 1. Докажите, что a/(2a+1)+b/(3b+1)+c/(6c+1)<=1/2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Преобразуем неравенство:
a/(2a+1) + b/(3b+1) + c/(6c+1) = (a^2)/((2a^2)+a) + (b^2)/((3b^2)+b) + (c^2)/((6c^2)+c)
= a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)
= a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)

Поскольку a, b и c - положительные числа, то числители больше нуля. Применим неравенство Коши-Буняковского:
(a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)) (2a^2 + a + 3b^2 + b + 6c^2 + c) >= (a + b + c)^2
(a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)) (2a^2 + a + 3b^2 + b + 6c^2 + c) >= 1

По условию a + b + c = 1:
(a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)) * (2a^2 + a + 3b^2 + b + 6c^2 + c) >= 1
(a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)) >= 1/(2a^2 + a + 3b^2 + b + 6c^2 + c)
(a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)) >= 1 / (a + 2b + 3c + a + b + c)
(a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)) >= 1 / 1

(a^2/(2a^2 + a) + b^2/(3b^2 + b) + c^2/(6c^2 + c)) >= 1

Откуда a/(2a+1) + b/(3b+1) + c/(6c+1) <= 1.

Таким образом, доказано, что a/(2a+1) + b/(3b+1) + c/(6c+1) <= 1/2.