Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=cos^2x+sinx на отрезке [ п/3;п ]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=cos^2x+sinx на отрезке [ п/3;п ] можно воспользоваться производной.

Найдем производную функции f(x):
f'(x) = -2cosx*sinx + cosx
f'(x) = cosx(1-2sinx)

Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
cosx(1-2sinx) = 0
cosx = 0 или 1-2sinx = 0

Найдем значения x, при которых cosx = 0 на отрезке [ п/3;п ]:
x = п/2, 3п/2

Найдем значения x, при которых 1-2sinx = 0 на отрезке [ п/3;п ]:
sinx = 1/2
x = п/6, 5п/6

Вычислим значения функции f(x) в найденных точках:
f(п/3) = cos^2(п/3) + sin(п/3) = 1/4 + √3/2
f(п/6) = cos^2(п/6) + sin(п/6) = 3/4 + 1/2
f(п/2) = cos^2(п/2) + sin(п/2) = 0 + 1
f(5п/6) = cos^2(5п/6) + sin(5п/6) = 3/4 - 1/2
f(3п/2) = cos^2(3п/2) + sin(3п/2) = 0 - 1

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на отрезке [п/3;п] равно 0, а наибольшее значение равно 1 + √3/2.