1 Найдите промежутки монотонности функции y=2x^3-6x^2-18x+72 Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=3x^4-8x^3+6x^2+5 на [-2;1]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:
6x^2 - 12x - 18 = 0
2x^2 - 4x - 6 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0

Точки экстремума: x = 3, x = -1

Проведем знаки производной на интервалах [-∞, -1], [-1, 3], [3, +∞]:
1) Возьмем x = -2: y' = 6(-2)^2 - 12(-2) - 18 = 24 + 24 - 18 = 30 > 0
2) Возьмем x = 0: y' = 60^2 - 120 - 18 = -18 < 0
3) Возьмем x = 4: y' = 64^2 - 124 - 18 = 96 - 48 - 18 = 30 > 0

Таким образом, функция возрастает на интервалах [-∞, -1] и [3, +∞], и убывает на интервале [-1, 3].

Найдем значения функции на концах отрезка [-2;1]:
y(-2) = 3(-2)^4 - 8(-2)^3 + 6(-2)^2 + 5 = 316 - 8-8 + 64 + 5 = 48 + 64 + 24 + 5 = 141
y(1) = 31^4 - 81^3 + 6*1^2 + 5 = 3 - 8 + 6 + 5 = 6

Теперь найдем значения функции в точках экстремума (которые мы ранее не нашли, но они располагаются на интервале [-2;1]):
y(-1) = 3(-1)^4 - 8(-1)^3 + 6*(-1)^2 + 5 = 3 - 8 + 6 + 5 = 6

Сравним найденные значения и выберем наибольшее и наименьшее:
Наименьшее значение: 6 (в точке x = -1)
Наибольшее значение: 141 (в точке x = -2)