Найти длину дуги X=sin^3 t
y=cos^3 t
0<=t<=pi/4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями x = sin^3(t) и y = cos^3(t), необходимо использовать формулу для расчета длины кривой по параметрическим уравнениям:

L = ∫(sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt

где dx/dt и dy/dt - производные x и y по t соответственно.

Сначала найдем производные:

dx/dt = 3sin^2(t)cos(t)
dy/dt = -3cos^2(t)sin(t)

Теперь подставим производные в формулу:

L = ∫(sqrt((3sin^2(t)cos(t))^2 + (-3cos^2(t)sin(t))^2) dt
L = ∫(sqrt(9sin^4(t)cos^2(t) + 9cos^4(t)sin^2(t)) dt
L = ∫(sqrt(9sin^2(t)cos^2(t)(sin^2(t) + cos^2(t))) dt
L = ∫(sqrt(9sin^2(t)cos^2(t)) dt
L = ∫(3sin(t)cos(t)) dt
L = 3∫(sin(t)cos(t)) dt

Интеграл ∫(sin(t)cos(t)) dt можно вычислить:

L = 3 * (-(cos^2(t))/2) + C

Теперь найдем значения интеграла в пределах от 0 до π/4:

L(π/4) - L(0) = 3 (-(cos^2(π/4))/2) - 3 (-(cos^2(0))/2)
L(π/4) - L(0) = 3 (-(1/2))/2 - 3 (-1/2)
L(π/4) - L(0) = 3(-1/4 + 3/2)
L(π/4) - L(0) = 3(-1/4 + 6/4)
L(π/4) - L(0) = 3 * 5/4
L(π/4) - L(0) = 15/4

Таким образом, длина дуги кривой в пределах от 0 до π/4 равна 15/4 или 3.75.