Имелось 2016 чисел ни одно из которых не равно нулю. Для каждой пары чисел записали их произведение. Докажите, что среди выписанных произведений не менее трети положительные.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть имеется $n$ чисел. Тогда всего $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ пар чисел. Для каждой пары чисел их произведение может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Предположим, что среди выписанных произведений менее трети положительные. Тогда положительными могут быть $\frac{n(n-1)}{6}$ произведений или меньше. Отсюда следует, что отрицательными будет не менее $\frac{n(n-1)}{3}$ произведений.

Так как в произведении двух чисел число отрицательных равно 2 (если одно из чисел положительное, а другое отрицательное), то суммарное количество отрицательных во всех произведениях равно $2C_n^2=2\frac{n(n-1)}{2}= n(n-1)$. Но мы знаем, что количество отрицательных произведений не меньше $\frac{n(n-1)}{3}$, следовательно, $n(n-1)\geq \frac{n(n-1)}{3}$, и, делая отнесение на $n(n-1)$, получаем $1\geq \frac{1}{3}$, что неверно.

Таким образом, наше предположение было неверным, и среди выписанных произведений не менее трети положительные.