Для решения данного интеграла используем метод дробно-рационального разложения.
Разложим дробь (1-x)/(1-x^n) на простые дроби(1-x)/(1-x^n) = A0 + A1x + A2x^2 + ... + An-1*x^n-1
Умножаем обе части на (1-x^n)1-x = A0(1-x^n) + A1x(1-x^n) + ... + An-1x^n-1*(1-x^n)
Подставим x=1, получаем0 = A0
Дифференцируем выражение и подставляем x=1-1 = 0 + A1*(1-n) + 0 + ... + A1 = -1/(n-1)
Продолжаем подставлять x=1 в полученное выражение для определения коэффициентов A2, A3,...A2 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)/A3 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)(3-n)/..An-1 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)...*(n-2-n)/(n-1)
После нахождения коэффициентов разложения, интегрируем полученное выражение∫(A0 + A1x + A2x^2 + ... + An-1x^n-1) dx = A0x + A1x^2/2 + A2x^3/3 + ... + An-1*x^n/n + C
Подставляем значения коэффициентов и границы интегрирования (от 0 до бесконечности)∫(1-x)/(1-x^n) dx = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) ∫(x^k) dx | [0, ∞∫(1-x)/(1-x^n) dx = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) (∞^k - 0^k) = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) * ∞
Это решение интеграла для данной функции.
Для решения данного интеграла используем метод дробно-рационального разложения.
Разложим дробь (1-x)/(1-x^n) на простые дроби
(1-x)/(1-x^n) = A0 + A1x + A2x^2 + ... + An-1*x^n-1
Умножаем обе части на (1-x^n)
1-x = A0(1-x^n) + A1x(1-x^n) + ... + An-1x^n-1*(1-x^n)
Подставим x=1, получаем
0 = A0
Дифференцируем выражение и подставляем x=1
-1 = 0 + A1*(1-n) + 0 + ... +
A1 = -1/(n-1)
Продолжаем подставлять x=1 в полученное выражение для определения коэффициентов A2, A3,...
A2 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)/
A3 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)(3-n)/
..
An-1 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)...*(n-2-n)/(n-1)
После нахождения коэффициентов разложения, интегрируем полученное выражение
∫(A0 + A1x + A2x^2 + ... + An-1x^n-1) dx = A0x + A1x^2/2 + A2x^3/3 + ... + An-1*x^n/n + C
Подставляем значения коэффициентов и границы интегрирования (от 0 до бесконечности)
∫(1-x)/(1-x^n) dx = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) ∫(x^k) dx | [0, ∞
∫(1-x)/(1-x^n) dx = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) (∞^k - 0^k) = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) * ∞
Это решение интеграла для данной функции.