Как посчитать этот интеграл? Интеграл ( от нуля до бесконечности ) (1-x)/(1-x^n) dx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного интеграла используем метод дробно-рационального разложения.

Разложим дробь (1-x)/(1-x^n) на простые дроби:
(1-x)/(1-x^n) = A0 + A1x + A2x^2 + ... + An-1*x^n-1

Умножаем обе части на (1-x^n):
1-x = A0(1-x^n) + A1x(1-x^n) + ... + An-1x^n-1*(1-x^n)

Подставим x=1, получаем:
0 = A0

Дифференцируем выражение и подставляем x=1:
-1 = 0 + A1*(1-n) + 0 + ... + 0
A1 = -1/(n-1)

Продолжаем подставлять x=1 в полученное выражение для определения коэффициентов A2, A3,...:
A2 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)/2
A3 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)(3-n)/3
...
An-1 = -1/(n-1)(1-n)(2-n)...*(n-2-n)/(n-1)

После нахождения коэффициентов разложения, интегрируем полученное выражение:
∫(A0 + A1x + A2x^2 + ... + An-1x^n-1) dx = A0x + A1x^2/2 + A2x^3/3 + ... + An-1*x^n/n + C

Подставляем значения коэффициентов и границы интегрирования (от 0 до бесконечности):
∫(1-x)/(1-x^n) dx = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) ∫(x^k) dx | [0, ∞]
∫(1-x)/(1-x^n) dx = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) (∞^k - 0^k) = -1/(n-1) ∑[k=1 to n-1]((-1)^k (1-n)(2-n)...(k-n)/k) * ∞

Это решение интеграла для данной функции.