При каких а система уравнений имеет единственное решение у= arcsinx; ax=(x-3)\(x+2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы система уравнений имела единственное решение, нужно чтобы уравнения не имели бесконечного числа решений (то есть не равны друг другу в любой точке), и чтобы было хотя бы одно решение.

Первое уравнение: у = arcsinx. Данное уравнение определяет зависимость значения у от x в пределах от -π/2 до π/2. Так как arcsinx - это функция, которая однозначно определена на данном интервале, то это уравнение имеет единственное решение.

Второе уравнение: ax = (x-3)/(x+2). Для любого значения x, в левой и в правой частях данного уравнения есть по одной переменной, а значит могут иметь разные значения. Перепишем это уравнение в виде равносильного, выразив x:

ax(x+2) = x - 3
ax^2 + 2ax = x - 3
ax^2 + (2a - 1)x + 3 = 0

Если рассматривать это как квадратное уравнение относительно x с параметром a, то необходимо чтобы дискриминант был больше или равен нулю для существования решений. Значит, (2a - 1)^2 - 4a3 >= 0, откуда (2a - 1)^2 - 12a >= 0, a^2 - 14a + 1 >= 0.

Таким образом, для системы уравнений у = arcsinx; ax = (x-3)/(x+2) единственное решение будет существовать при а, удовлетворяющем неравенству a^2 - 14a + 1 >= 0.