В ромбе АВСД со стороной 8 см проведена прямая АМ, делящая острый угол ВАД в отношении 1:2. Точка М лежит на стороне ВС. Угол ВАД равен 72 градуса. Найдите отношение ВМ к АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AC = x, BM = y.

Так как угол ВАД равен 72 градусам, то угол AMC равен 108 градусам (180 - 72 = 108). Также, угол CAM равен 36 градусов (180 - 72 - 72 = 36).

Теперь рассмотрим треугольник AMC: угол CAM равен 36 градусов, угол AMC равен 108 градусам. Таким образом, угол MAC равен 36 градусов. Это значит, что треугольник AMC является равнобедренным.

Из условия задачи мы знаем, что AM делит угол ВАД в отношении 1:2, то есть угол BAC равен 24 градуса (72/3 = 24).

Теперь рассмотрим треугольник ВАС: угол ВАС равен 24 градуса, угол АСВ – 66 градусов (180 - 24 - 90 = 66).

Поскольку треугольник ABC – прямоугольный, можем использовать свойство вписанных углов, откуда угол BAC = угол BVC, так что угол BVC равен 24 градуса.

Также, угол BVM = угол BVC - угол CVM = 24 - 12 = 12 градусов.

Теперь можно использовать теорему синусов в треугольнике BVM:

sin(24) / y = sin(12) / 8,

sin(24) = 2 sin(12) cos(12), поэтому

2 sin(12) cos(12) / y = sin(12) / 8,

2 * cos(12) / y = 1 / 8,

2 y = 8 cos(12),

y = 4 * cos(12).

Теперь рассмотрим треугольник АВМ:
sin(24) / VM = sin(84) / y = sin(84) / 4 * cos(12).

Отсюда VM = sin(24) / sin(84) 4 cos(12),

VM = (sin(24) / sin(84)) 4 cos(12),

Находим это отношение с помощью калькулятора: sin(24) / sin(84) ≈ 0.363

Получаем ВМ ≈ 0.363 4 cos(12).

Отсюда итоговый результат – ВМ/АВ ≈ 0.363 4 cos(12) / 8 ≈ 0.18.