Y=(x+3)/(x^2+7) 1)исследовать функцию и построить график 2)найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (-5;5)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Чтобы исследовать функцию Y=(x+3)/(x^2+7), сначала найдем область определения. Знаменатель функции не может быть равен нулю, поэтому x^2+7 ≠ 0, отсюда x ≠ ±√7i. Значит, областью определения функции является множество всех действительных чисел, за исключением ±√7i.

Теперь найдем точки пересечения с осями координат. Для оси абсцисс (Y=0): x+3 = 0 => x = -3. Для оси ординат (x=0): Y = 3/7.

Также найдем асимптоты функции. Для этого разложим функцию на простейшие дроби: Y= (x+3)/(x^2+7) = A/(x+√7i) + B/(x-√7i).

(x+3) = A(x-√7i)+B(x+√7i).

Теперь подставим значения x=-√7i и x=√7i: -√7i+3 = -2√7iA => A = (-√7i+3)/(-2√7i) = (-√7/2)+(3/2).

√7i+3 = 2√7iB => B = (√7i+3)/(2√7i) = (√7/2)+(3/2).

Таким образом, уравнение асимптоты: Y = (-√7/2 + 3/2)/(x+√7i) + (√7/2 + 3/2)/(x-√7i).

Построим график функции:

(define (Y x) (/ (+ x 3) (+ (expt x 2) 7))
(plot (function Y (- 10) 10))

2) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции Y=(x+3)/(x^2+7) на отрезке (-5;5), найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

Y' = ((x^2+7)(1) - (x+3)(2x))/((x^2+7)^2) = (x^2+7-2x^2+6x)/(x^2+7)^2 = (6x-x^2+7)/(x^2+7)^2.

Найдем точки, где Y' = 0: 6x - x^2 + 7 = 0 => x^2 - 6x + 7 = 0 => (x-1)(x-5) = 0 => x=1, x=5.

Таким образом, критические точки - x=1 и x=5. Подставим их в функцию, чтобы найти соответствующие значения Y.

Y(1) = (1+3)/(1^2+7) = 4/8 = 0.5.

Y(5) = (5+3)/(5^2+7) = 8/32 = 0.25.

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке (-5;5) равно 0.5 (достигается при x=1), а наименьшее значение - 0.25 (достигается при x=5).