Как посчитать эту бесконечную сумму Σ(n=1,∞) (γ(2n, -2πi))/(Γ(2n)) ? Σ(n=1,∞) (γ(2n, -2πi))/(Γ(2n))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы посчитать данную бесконечную сумму, можно использовать известное свойство ряда Гамма-функции:

Σ(n=1,∞) (γ(2n, -2πi))/(Γ(2n)) = Σ(n=1,∞) (γ(2n))/(Γ(2n)) + Σ(n=1,∞) (-2πi)/(Γ(2n))

Первый ряд можно выразить через дигамму, а второй ряд распадается на некоторые величины с похожими рядами:

Σ(n=1,∞) (γ(2n))/(Γ(2n)) = Ψ(1) - 1/4

Σ(n=1,∞) (-2πi)/(Γ(2n)) = 2πi * (1 - e^(2πi)) / 2πi = 1 - e^(2πi)

Таким образом, итоговая формула для суммы будет:

Σ(n=1,∞) (γ(2n, -2πi))/(Γ(2n)) = Ψ(1) - 1/4 + 1 - e^(2πi)

Выражение e^(2πi) равно 1 по тождеству Эйлера, поэтому итоговое значение суммы равно Ψ(1) - 1/4 + 1 - 1 = Ψ(1) - 1/4.