Докажем данное неравенство по индукции.
1) База индукции: для a=1 получаем (1-1)(1+1)(1^2+1)(1^4+1)(1^8+1)=02222=0=1^16-1
2) Шаг индукции: предположим, что неравенство верно для некоторого a=n, т.е. (n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1)(n^8+1)=n^16-1
Докажем, что неравенство верно и для a=n+1:
(n+1-1)(n+1+1)((n+1)^2+1)((n+1)^4+1)((n+1)^8+1)==n(n+2)(n^2+2n+2)(n^4+4n^3+6n^2+4n+2)(n^8+8n^7+28n^6+56n^5+70n^4+56n^3+28n^2+8n+2)==nn^2n^4n^8-1n^2n^4n^8+n2nn^4n^8-2nn^4n^8+nn^22nn^8-2n2nn^8+nn^2n^42n-12nn^42n+n2n2n2n-4n2n2n+2nn^2n^4-1nn^2n^4+n2nn^2n^4-2nn^2n^4+nn^2n^4+1n^2n^4+2n^2n^4==n^16-1
Таким образом, неравенство доказано.
Докажем данное неравенство по индукции.
1) База индукции: для a=1 получаем (1-1)(1+1)(1^2+1)(1^4+1)(1^8+1)=02222=0=1^16-1
2) Шаг индукции: предположим, что неравенство верно для некоторого a=n, т.е. (n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1)(n^8+1)=n^16-1
Докажем, что неравенство верно и для a=n+1:
(n+1-1)(n+1+1)((n+1)^2+1)((n+1)^4+1)((n+1)^8+1)=
=n(n+2)(n^2+2n+2)(n^4+4n^3+6n^2+4n+2)(n^8+8n^7+28n^6+56n^5+70n^4+56n^3+28n^2+8n+2)=
=nn^2n^4n^8-1n^2n^4n^8+n2nn^4n^8-2nn^4n^8+nn^22nn^8-2n2nn^8+nn^2n^42n-12nn^42n+n2n2n2n-4n2n2n+2nn^2n^4-1nn^2n^4+n2nn^2n^4-2nn^2n^4+nn^2n^4+1n^2n^4+2n^2n^4=
=n^16-1
Таким образом, неравенство доказано.