Tg a/tg a +ctg a=sin^2aдокажите тождество

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества будем использовать определения функций тангенса и котангенса:

tg(a) = sin(a)/cos(a)

ctg(a) = cos(a)/sin(a)

Подставим эти определения в левую часть уравнения:

tg(a)/ctg(a) + ctg(a)/tg(a) = (sin(a)/cos(a)) / (cos(a)/sin(a)) + (cos(a)/sin(a)) / (sin(a)/cos(a))

Упростим это выражение:

(sin(a)/cos(a)) / (cos(a)/sin(a)) + (cos(a)/sin(a)) / (sin(a)/cos(a)) = (sin(a)/cos(a)) (sin(a)/cos(a)) + (cos(a)/sin(a)) (cos(a)/sin(a))

= sin^2(a)/cos^2(a) + cos^2(a)/sin^2(a)

= (sin^2(a) + cos^2(a)) / (cos^2(a) * sin^2(a))

Используя тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1, получаем:

= 1 / (cos^2(a) * sin^2(a))

= 1 / sin^2(a) * 1 / cos^2(a)

= 1/(sin^2(a) * cos^2(a))

= (1/sin(a)) * (1/cos(a))

= csc(a) * sec(a)

Таким образом, левая часть уравнения равна csc(a) * sec(a), что равно правой части уравнения, получаем искомое тождество.