Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнение x^2-xy-2x+3y=11.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение эквивалентно x^2 - (y+2)x + 3y = 11.

Так как мы ищем натуральные числа, то можем переписать уравнение в виде x^2 - (y+2)x = 3y + 11 и заметить, что левая часть является квадратным трехчленом относительно переменной x, а правая часть является линейным трехчленом относительно переменной x. Значит, наше уравнение будет иметь целочисленные корни только в случае, если дискриминант будет полным квадратом.

Дискриминант нашего уравнения равен D = (y+2)^2 - 4*3y - 11 = y^2 + 4y + 4 - 12y - 11 = y^2 - 8y - 7.

Чтобы D был полным квадратом, нужно, чтобы y^2 - 8y - 7 = k^2, где k - натуральное число.

Преобразуем это уравнение к виду y^2 - 8y + 16 = k^2 + 16. (y - 4)^2 = k^2 + 16.

Теперь можем заметить, что это уравнение является уравнением Пелля, решениями которого будут пары натуральных чисел (y, k), причем y = 4 + n_i, k = m_i, где n_i и m_i - решения уравнения Пелля y_i^2 - 7k_i^2 = 1.

Таким образом, все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнение x^2-xy-2x+3y=11, имеют вид (x, y) = (4 + n_i, m_i), где n_i и m_i - решения уравнения Пелля y_i^2 - 7k_i^2 = 1.