На продолжении основания ВС равнобедренного треугольника АВС за точку В отметили точку М такую, что угол МВА = 128 градусов. Найдите угол между боковой стороной АС и биссектрисой угла АСВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол между боковой стороной (AC) и биссектрисой угла (ASB) через (\angle CAS).

Так как треугольник (ABC) равнобедренный, то (\angle ACB = \angle ABC = \frac{180^\circ - \angle CAB}{2}).

Также, так как угол (BVM) вписанный, то (\angle BVM = \frac{\angle BCA}{2}) (центральный угол, опирающийся на эту дугу, в два раза больше окружного угла) и (\angle BVM = 180^\circ - \angle MVA = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ).

Из условия задачи, угол (\angle CMV = \angle ACM). Тогда рассмотрим треугольник (ACM):

[\angle ACM + \angle CAM + \angle ACM = 180^\circ]
[2\angle ACM = 180^\circ - \angle CAM - \angle ACM]
[\angle ACM = \frac{180^\circ - \angle CAM}{2} = \frac{180^\circ - \angle CAM}{2}]

Тогда из правильности треугольника (ACM) следует, что:

[\angle ACM + \angle CMA + \angle CAM = 180^\circ]
[\frac{180^\circ - \angle CAM}{2} + \angle CMA + \angle CAM = 180^\circ]
[\frac{180^\circ - 3\angle CAM}{2} = 0]
[180^\circ - 3\angle CAM = 0]
[\angle CAM = 60^\circ]

Так как (AB = AC), то (\angle CAB = \angle CBA), а тогда:

[\angle CAB = \frac{180^\circ - \angle ACB}{2} = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ]

И, следовательно, (\angle CAS = 60^\circ).