Участок в форме прямоугольника площадью 200 квадратных метров огорожен с трех сторон забором. Найдите наименьшую длину забора.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина участка равна (a), а ширина равна (b). Так как площадь прямоугольника равна 200 квадратным метрам, то (a \cdot b = 200).

Из условия известно, что участок огорожен с трех сторон забором, то есть длина забора равна сумме периметров трех сторон прямоугольника.

Пусть (P) - периметр, тогд
[P = a + 2b]

Нам нужно найти минимальное значение периметра, при условии, что (a \cdot b = 200). Для удобства воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим чисел
[\frac{a + 2b}{3} \geq \sqrt[3]{a \cdot b \cdot b} = \sqrt[3]{200b^2}]

Из неравенства следует
[a + 2b \geq 3 \sqrt[3]{200b^2}
[a \geq 3 \sqrt[3]{200b^2} - 2b]

Теперь подставим (a = 3 \sqrt[3]{200b^2} - 2b) в уравнение (a \cdot b = 200), чтобы найти (b)
[(3 \sqrt[3]{200b^2} - 2b) \cdot b = 200
[3 \sqrt[3]{200b^2} \cdot b - 2b^2 = 200
[3 \sqrt[3]{200b^2} \cdot b = 200 + 2b^2
[9 \cdot 25 \cdot 3b^3 = (200 + 2b^2)^3
[67 500b^3 = 8 000 000 + 2 \cdot 200 \cdot b^2 + 2 \cdot 200 \cdot b^2
[67 500b^3 - 16 \cdot 200 \cdot b^2 - 8 000 000 = 0]

Это уравнение 3-й степени, которое может быть решено численно. Получив значение (b), подставим его в (a \cdot b = 200) и найдем (a).

Наконец, найдем периметр (P = a + 2b) и получим наименьшую длину забора.