Представим tg2α и ctg2α через tgα и ctgα:

tg2α = (2tgα) / (1-tg^2α)

ctg2α = (1-tg^2α) / (2tgα)

Теперь подставим tgα + ctgα = a в формулы:

tg2α = (2(tgα + ctgα)) / (1 - (tgα + ctgα)^2) = (2a) / (1 - a^2)

ctg2α = (1 - (tgα + ctgα)^2) / (2(tgα + ctgα)) = (1 - a^2) / (2a)

Теперь найдем tg2α + ctg2α:

tg2α + ctg2α = (2a) / (1 - a^2) + (1 - a^2) / (2a) = (2a(1 - a^2) + (1 - a^2)^2) / (2a(1 - a^2))

= (2a - 2a^3 + 1 - 2a^2 + a^4) / (2a - 2a^3) = (a^4 - a^2 + 1) / (2a - 2a^3)

Таким образом, tg2α + ctg2α = (a^4 - a^2 + 1) / (2a - 2a^3)