Доказать торжество ctg2a-cos2a=ctg2acosa

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем левую часть равенства:

ctg(2a) - cos(2a)

Распишем ctg(2a) через cos(2a) и sin(2a):

ctg(2a) = cos(2a)/sin(2a)

Тогда выражение примет вид:

cos(2a)/sin(2a) - cos(2a)

Приведем общий знаменатель:

(cos(2a) - cos(2a)sin(2a))/sin(2a)

Формула приведения для cos(2a) представляет собой:

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) - (1 - cos^2(a)) = 2cos^2(a) - 1

Тогда наше выражение будет:

((2cos^2(a) - 1) - (2cos^3(a) - cos^2(a)))/sin(2a)

Упростим:

(2cos^2(a) - 1 - 2cos^3(a) + cos^2(a))/sin(2a)

(-2cos^3(a) + 3cos^2(a) - 1)/sin(2a)

Поделим числитель на sin(2a):

(-2cos^3(a) + 3cos^2(a) - 1)/(2sin(a)cos(a))

Теперь рассмотрим правую часть равенства:

ctg(2a)cosa

Распишем ctg(2a) через cos(2a) и sin(2a) как в начале:

(cos(2a)/sin(2a))cosa

cos(2a)cosa/sin(2a)

Снова используем формулу приведения для cos(2a):

(2cos^2(a) - 1)cosa/sin(2a)

2cos^2(a)cosa - cosa/sin(2a)

2cos^3(a) - cosa/sin(2a)

(-2cos^3(a) + 3cos^2(a) - 1)/(2sin(a)cos(a))

Как видим, левая часть равенства равна правой, что доказывает наше утверждение.