Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB=13.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка пересечения биссектрис находится на стороне BC в точке E.

Так как биссектрисы углов A и D параллельны, то треугольники ABE и CDE подобны, так как у них имеются по два равных угла (из-за параллельности биссектрис).

Из подобия треугольников получаем, что

AB/BC = AE/EC

Так как AB=13, то AE=13. Также заметим, что EC=CD, так как эти отрезки делят одну и ту же сторону на равные части.

Теперь, так как AC=BD (параллелограмм), то

AE + EC + CD = AC
13 + CD + CD = AC
13 + 2CD = AC

Также, из подобия треугольников:

AB/BC = CD/EC
13/BC = CD/(13-CD)

Отсюда CD= 91/BC

Подставляем это обратно в уравнение на AC:

13 + 2(91/BC) = AC
13BC + 182 = ACBC
182 = AC(BC-13)

Так как точка E лежит на BC, то AC=BC-13

Теперь решаем получившееся уравнение:

182 = (BC-13)*(BC)
182 = BC^2-13BC
BC^2-13BC-182=0
(BC-26)(BC+7)=0

BC=26 или BC=-7

Отбрасываем отрицательное значение, и получаем, что BC=26.