Найти производную y=(cosx)^lnx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной функции y=(cosx)^lnx нам понадобится использовать цепное правило и правило дифференцирования функции в степени.

Сначала запишем функцию в виде y=e^(ln(cosx)*lnx), чтобы упростить дальнейшие вычисления.

Теперь применим цепное правило:
dy/dx = (e^(ln(cosx)lnx))' = e^(ln(cosx)lnx) ((ln(cosx)lnx)' + (ln(cosx))' * lnx).

Затем найдем производные внутренних функций:
(ln(cosx)lnx)' = (ln(cosx))' lnx + ln(cosx) (lnx)' = (-sinx/cosx) lnx + ln(cosx) (1/x) = (-tanx) lnx + ln(cosx)/x.

и (ln(cosx))' = -sinx/cosx.

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение для производной:

dy/dx = e^(ln(cosx)lnx) ((-tanx) lnx + ln(cosx)/x + (-sinx/cosx) lnx) = (cosx)^lnx ((-tanx) lnx + ln(cosx)/x + (-sinx/cosx) * lnx).

Таким образом, производная функции y=(cosx)^lnx равна (cosx)^lnx ((-tanx) lnx + ln(cosx)/x + (-sinx/cosx) * lnx).