Построить перпендикуляр к плоскости. Построить отрезок OS, перпендикулярный к плоскости параллелограмма ABCD.
Точка О является центром тяжести параллелограмма ABCD.
Длина отрезка OS=70мм.
Координаты вершин параллелограмма
A (80,50,25)
B (60,10,55)
C (20,10,85)
D (40,50,55)
Вопрос: Какова координата точки S по оси x? Ответ ввести в мм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для построения перпендикуляра к плоскости параллелограмма ABCD воспользуемся координатами вершин параллелограмма.

Найдем координаты центра тяжести О параллелограмма ABCD, который равен среднему арифметическому координат вершин:

O(x,y,z) = ((80+60+20+40)/4, (50+10+10+50)/4, (25+55+85+55)/4) = (50, 30, 55)

Так как длина отрезка OS равна 70 мм и точка S лежит на прямой, соединяющей точки O и центр плоскости ABCD, координаты точки S будет задаваться уравнением параметрической прямой:

S(x,y,z) = O(x,y,z) + t * (O - S)
где t - параметр, S - искомая точка

Так как точка S перпендикулярна к плоскости ABCD, то вектор OS будет перпендикулярен к нормали плоскости ABCD.
Нормаль к плоскости ABCD найдем через векторное произведение векторов AB и AD:
n = AB x AD
n = (B-A) x (D-A) = (60-80, 10-50, 55-25) x (40-80, 50-50, 55-25) = (-20, -40, 30) x (40, 0, 30) = (1200, 1200, 800)
Так как вектор n задает нормаль к плоскости ABCD, то вектор OS должен быть коллинеарен с n:
OS = λ * n

Теперь можем задать уравнение:
50 + t λ 1200 = x
30 + t λ 1200 = y
55 + t λ 800 = z

Известно, что длина вектора OS равна 70мм:
sqrt((x-50)^2 + (y-30)^2 + (z-55)^2) = 70

Подставим координаты О и искомую точку S в это уравнение и найдем λ:
sqrt((x-50)^2 + (y-30)^2 + (z-55)^2) = 70
sqrt((50 + t λ 1200 - 50)^2 + (30 + t λ 1200 - 30)^2 + (55 + t λ 800 - 55)^2) = 70
sqrt((t λ 1200)^2 + (t λ 1200)^2 + (t λ 800)^2) = 70
sqrt((1200^2 + 1200^2 + 800^2) (t λ)^2) = 70
sqrt((1440000 + 1440000 + 640000) (t λ)^2) = 70
sqrt(3520000 (t λ)^2) = 70
t λ = 70 / sqrt(3520000)
t λ = 70 / (1874.86)
t * λ ≈ 0.0373

Теперь подставим найденное значение λ в уравнения координат точки S:
50 + 0.0373 1200 λ = x
30 + 0.0373 1200 λ = y
55 + 0.0373 800 λ = z

Таким образом, координата точки S по оси x равна x ≈ 50 + 0.0373 1200 0.0373 ≈ 92.70 мм.