В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке K объем пирамиды равен 80 KS=15

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для объема треугольной пирамиды:

V = 1/3 S h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Так как медианы основания пересекаются в точке K, то мы можем разделить основание на 6 равных треугольников, каждый из которых имеет сторону KS/2 и площадь S/6. Тогда S = 6(KS/2)^2 = 67.5^2 = 337.5.

Также, так как высота проходит через вершину пирамиды и перпендикулярна основанию, то треугольники SAK и SBK равны. Отсюда мы можем найти площадь вот этого равного треугольника как S/6 = 337.5/6 = 56.25.

Теперь можем вычислить высоту треугольной пирамиды h по формуле высоты треугольника h = 2S/hB, где hB - высота боковой грани треугольной пирамиды. Тогда h = 256.25/hB.

Теперь можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику SBKK', где K' - основание высоты из вершины пирамиды. Тогда SK^2 = SB^2 - hB^2 = (15^2) - hB^2. Также, BK = KS/2 = 7.5. Тогда по теореме Пифагора BK^2 = SB^2 + hB^2 = (KB+SK)^2, т.е. 7.5^2 = (KB+15)^2. Решая это уравнение получаем, что KB = 1.5.

Теперь можем найти hB = sqrt(SK^2 - KB^2) = sqrt(15^2 - 1.5^2) = 14.9.

Тогда высота треугольной пирамиды h = 256.25/14.9 = 7.5. И, наконец, объем пирамиды V = 1/3 S h = 1/3 337.5 * 7.5 = 80.