Докажите, что для любого неотрицательного целого числа n число 5^(2n+3) + 8n + 3 делится на 16.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

База индукции (n=0):
Подставим n=0 в выражение 5^(2n+3) + 8n + 3:
5^(20+3) + 80 + 3 = 5^3 + 3 = 125 + 3 = 128
128 делится на 16, так как 128 = 8*16. База индукции верна.

Предположение индукции:
Предположим, что для некоторого k>=0 число 5^(2k+3) + 8k + 3 делится на 16, то есть существует целое число m, такое что 5^(2k+3) + 8k + 3 = 16m.

Шаг индукции:
Докажем, что утверждение верно для k+1. Подставим n=k+1 в исходное выражение:
5^(2(k+1)+3) + 8(k+1) + 3 = 5^(2k+5) + 8k + 8 + 3 = 5^2 5^(2k+3) + 8k + 11
Рассмотрим выражение 5^2 5^(2k+3):
5^2 5^(2k+3) = 5^(2k+5) = 5^(2k+3+2) = 5^(2k+3) 5^2
Подставим это в исходное выражение:
5^2 5^(2k+3) + 8k + 11 = (5^(2k+3) 5^2) + 8k + 11 = 25 5^(2k+3) + 8k + 11 = 16 5^(2k+3) + 9 5^(2k+3) + 8k + 11 = 16m + 9 5^(2k+3) + 8k + 11 = 16m + 9(5^(2k+3) + 8k + 3) + 2
Заметим, что 5^(2k+3) + 8k + 3 равно 16m в соответствии с предположением индукции. Таким образом для n=k+1 число 5^(2n+3) + 8n + 3 тоже делится на 16.

Итак, по принципу математической индукции утверждение доказано: для любого неотрицательного целого числа n число 5^(2n+3) + 8n + 3 делится на 16.