Как доказать, что x=y=z? Если x,y,z - действительные числа, удовлетворяющие (x^2)/(y^2)+(y^2)/(z^2)+(z^2)/(x^2)=x/y+y/z+z/x, как доказать что x=y=z?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте предположим, что x, y, z - отличны друг от друга действительные числа. Без ограничения общности, можно предположить, что x > y > z.

Тогда также без ограничения общности можно предположить, что x > y/z > 1 (поскольку y > z, знаменатель является наименьшим числом).

Теперь рассмотрим выражение (x^2)/(y^2) + (y^2)/(z^2) + (z^2)/(x^2). Так как x > y/z > 1, то (x^2)/(y^2) > 1, (y^2)/(z^2) > 1 и (z^2)/(x^2) < 1 (поскольку x > y > z). Следовательно, сумма выражений будет больше 3, что не равно x/y + y/z + z/x.

Таким образом, предположение о том, что x, y, z - отличны друг от друга действительные числа, неверно.

Следовательно, x = y = z.