1/2*2^x-1+2^3-x=3 решить уравнение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем уравнение:

1/2*2^(x-1) + 2^(3-x) = 3

2^(x-1) + 2^(3-x) = 6

2^x 2^(-1) + 2^3 2^(-x) = 6

2^x-1 + 8/2^x = 6

2^x-1 + 4/2^(x-1) = 6

Умножаем обе части на 2^(x-1) , так как 2^(-1) = 1/2 :

2^(2x-2) + 4 = 6 * 2^(x-1)

2^(2x-2) + 4 = 12 * 2^x

2^(2x-2) = 12 * 2^x - 4

Заменяем 2^2 на 4:

4^x = 12*2^x - 4

(2^2)^x = 12 * 2^x - 4

2^(2x) = 12 * 2^x - 4

После этого решаем уравнение как квадратное уравнение:

Пусть y = 2^x, тогда уравнение становится:

y^2 = 12y - 4

y^2 - 12y + 4 = 0

Дискриминант D = (-12)^2 - 4*4 = 144 - 16 = 128

После решения дискриминанта мы получаем два решения для y:

y1 = (12 + sqrt(128))/2 = 6 + 4sqrt(2)

y2 = (12 - sqrt(128))/2 = 6 - 4sqrt(2)

Теперь подставляем y обратно и решаем для x:

2^x = 6 + 4sqrt(2)
x = log2(6 + 4sqrt(2))

2^x = 6 - 4sqrt(2)
x = log2(6 - 4sqrt(2))