Для начала раскроем скобки:

(sinα+cosα)² = sin²α + 2sinαcosα + cos²α

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

1 + 2sinαcosα (sinα+cosα)² = 1 + 2sinαcosα (sin²α + 2sinαcosα + cos²α)

Умножим каждый член на 2sinαcosα:

= 1 + 2sinαcosα sin²α + 4sin²αcos²α + 2sinαcosα cos²α

= 1 + 2sin²αcosα + 4sin²αcos²α + 2sinαcos²α

Так как sin²α + cos²α = 1, можем заменить sin²α на 1 - cos²α:

= 1 + 2(1-cos²α)cosα + 4(1-cos²α)cos²α + 2sinαcos²α

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2sinαcos²α

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2sinα(1-cos²α)

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2sinα - 2sinαcos²α

Так как sinα = √(1 - cos²α), можем заменить sinα на √(1 - cos²α):

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2√(1 - cos²α) - 2(1 - cos²α)cos²α

= 1 + 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 4cos⁴α + 2√(1 - cos²α) - 2cos²α + 2cos⁴α

= 2cosα - 2cos³α + 4cos²α - 2cos²α + 2√(1 - cos²α) + 2cos⁴α - 4cos⁴α + 1

= 2cosα - 2cos³α + 2cos²α + 2√(1 - cos²α) - 3cos⁴α + 1

Таким образом, мы доказали, что 1 + 2sinαcosα * (sinα+cosα)² = 2cosα - 2cos³α + 2cos²α + 2√(1 - cos²α) - 3cos⁴α + 1.