Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треугольника равен синусу его третьего угла?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть углы треугольника обозначены как A, B и С, а их противоположные стороны - a, b и c соответственно.

Из закона синусов для угла A:
sin A = a / c

Из закона синусов для угла B:
sin B = b / c

Из закона синусов для угла C:
sin C = a / b

Теперь рассмотрим сумму углов A и B треугольника:
A + B = C (т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов)

Синус суммы двух углов можно выразить как:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

С учетом выражений для sin A и sin B:
sin (A + B) = (a / c) (b / c) + √(1 - (a / c)^2) √(1 - (b / c)^2)

Учитывая, что sin C = a / b, cos C = √(1 - (a / b)^2) и заменяя a / b на sin C в уравнении:
sin (A + B) = sin A sin B + √(1 - (sin A)^2) √(1 - (sin B)^2)

Так как sin A = a / c и sin B = b / c, то:
sin (A + B) = (a / c) (b / c) + √(1 - (a / c)^2) √(1 - (b / c)^2) = a b / c^2 + √(1 - (a / c)^2) √(1 - (b / c)^2)

Подставляем (a / c)^2 и (b / c)^2 вместо sin A и sin B:
sin (A + B) = a b / c^2 + √(1 - (a / c)^2) √(1 - (b / c)^2) = a b / c^2 + √(1 - sin^2 C) √(1 - sin^2 C) = a * b / c^2 + (1 - sin^2 C)

Из уравнения sin C = a / b следует, что a = b sin C. Подставляем это в предыдущее уравнение:
sin (A + B) = a b / c^2 + (1 - sin^2 C) = b sin C b / c^2 + cos^2 C = b^2 sin C / c^2 + cos^2 C = b^2 / c^2 + cos^2 C = sin^2 C + cos^2 C = 1

Следовательно, sin (A + B) = sin C, что и требовалось доказать.