Задача Диофанта . Докажите , что произведение двух чисел , каждое из которых есть сумма двух квадратов , само представляется двумя способами в виде суммы двух квадратов (a²+b²)^(c²+d²)=(a^c+b^d)²+(b^c-a^d)²; (a²+b²)^(c²+d²)=(a^c-b^d)²+(b^c+a^d)².

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой разложения степени суммы.

Пусть a и b представимы в виде a = x² + y² и b = z² + w², тогда:

(a² + b²)^(c² + d²) = ((x² + y²)² + (z² + w²)²)^(c² + d²)

Разложим по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b²:

= ((x^4 + 2x²y² + y^4) + (z^4 + 2z²w² + w^4))^(c² + d²)

=(x^4y^4 + 2x^2y^4 + y^8 + 2x^4y^2 + 4x^2y^2z^2 + 2y^2z^4 + x^8 + 2x^4y^2 + x^2y^4 + 2z^4w^2 + 4z^2w^2w^2 + 2w^4z^4)^(c² + d²)

Заметим, что произведение двух чисел a и b равно (x² + y²)(z² + w²) = (xz - yw)² + (xw + yz)².

Таким образом, правая часть равенства представляется в виде суммы двух квадратов:

(a^c + b^d)² + (b^c - a^d)² = ((x^c + y^d)² + (z^c + w^d)²) + ((z^c - w^d)² + (y^c + x^d)²)

=(x^c + y^d)(z^c + w^d) + (z^c - w^d)(y^c + x^d)

В результате, получаем:

(a² + b²)^(c² + d²) = (a^c + b^d)² + (b^c - a^d)².

Аналогичным образом можно доказать второе равенство:

(a² + b²)^(c² + d²) = (a^c - b^d)² + (b^c + a^d)².