Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечетные. Пусть a — сумма сумм цифр чисел в первой группе,b — во второй. Найдите b−a .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения суммы сумм цифр чисел в каждой из групп, сначала найдем сумму сумм цифр чисел в каждой из групп:

1) Для четных чисел:
Существует 500 четных чисел от 2 до 1000 (по одному на каждое из чётных натуральных чисел от 1 до 1000).
Каждое из этих чисел состоит из двух цифр: четной цифры на первом месте (от 2 до 9) и любой цифры (от 0 до 9) на втором месте.
Общее количество чисел на каждой из позиций = (сумма четных чисел от 2 до 9) 10 = (2+4+6+8) 10 = 2010 = 200.
Тогда общее количество чисел, образованных из этих двух цифр = 200 10 = 2000.
Сумма цифр на первом месте = сумма всех четных чисел от 2 до 9 = 2+4+6+8 = 20.
Сумма цифр на втором месте = 0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45.
Сумма сумм цифр в первой группе = 2000(20+45) = 200065 = 130000.

2) Для нечетных чисел:
Существует также 500 нечетных чисел от 1 до 999 (по одному на каждое из нечетных натуральных чисел от 1 до 999).
Каждое из этих чисел состоит из двух цифр: нечетной цифры на первом месте (от 1 до 9) и любой цифры (от 0 до 9) на втором месте.
Общее количество чисел на каждой из позиций = (сумма нечетных чисел от 1 до 9) 10 = (1+3+5+7+9) 10 = 2510 = 250.
Тогда общее количество чисел, образованных из этих двух цифр = 250 10 = 2500.
Сумма цифр на первом месте = сумма всех нечетных чисел от 1 до 9 = 1+3+5+7+9 = 25.
Сумма цифр на втором месте = 0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45 (так как числа также содержат различные цифры).
Сумма сумм цифр во второй группе = 2500(25+45) = 250070 = 175000.

Итак, сумма сумм цифр в первой группе (a) = 130000, а сумма сумм цифр во второй группе (b) = 175000.
b - a = 175000 - 130000 = 45000.

Ответ: 45000.