1.найдите промежутки монотонности функции а)f(x)=(x-2)^2/x+1б)f(x)=√x-x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Функция f(x)=(x-2)^2/(x+1) имеет областью определения все действительные числа, кроме x=-1. Она может быть представлена в виде f(x)=(x^2-4x+4)/(x+1)=x-5+9/(x+1).

Для нахождения промежутков монотонности функции проведем исследование производной. Найдем производную функции f(x): f'(x)=1-9/(x+1)^2.

Производная равна нулю при x=-4 и имеет разрыв в точке x=-1. Анализируя знаки производной, находим, что функция убывает на интервалах (-бесконечность, -4) и (-1, +∞), а возрастает на интервале (-4, -1).

Таким образом, промежутки монотонности функции f(x)=(x-2)^2/(x+1) следующие:

б) Функция f(x)=√x-x может быть представлена в виде f(x)=x^(1/2)-x.

Найдем производную функции f(x): f'(x)=1/(2√x)-1.

Производная равна нулю при x=1/4 и имеет разрыв в нуле. Анализируя знаки производной, можно найти, что функция убывает на интервале (0, 1/4) и возрастает на интервале (1/4, +∞).

Таким образом, промежутки монотонности функции f(x)=√x-x следующие: