1)Арифметические прогрессии (a_{n}), (b_{n}), (c_{n})заданы формулами n-го члена: a_{n}=5n, b_{n}=5n-1, c_{n}=n+5 Указать те из них, которые имеют разность, равную 5. 2) При каких значениях m уравнение x^3+10x^2-mx=0 имеет два различных корня?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Разность в арифметической прогрессии равна разнице между двумя последовательными членами.
a{n}: разность = a{n+1} - a{n} = 5(n+1) - 5n = 5
b{n}: разность = b{n+1} - b{n} = (5(n+1) - 1) - (5n - 1) = 5
c{n}: разность = c{n+1} - c_{n} = (n+1 + 5) - (n + 5) = 1

Итак, из приведенных арифметических прогрессий только a{n} и b{n} имеют разность, равную 5.

2) Уравнение x^3+10x^2-mx=0 имеет два различных корня, если дискриминант этого уравнения больше нуля.
Для кубического уравнения вида x^3 + px^2 + qx + r = 0 дискриминант D равен:
D = 18prq - 4p^3q + p^2q^2 - 4q^3 - 27r^2

Заменяем p = 10, q = -m, r = 0 в наше уравнение:
D = 1810(-m)0 - 410^3(-m) + 10^2(-m)^2 - 4(-m)^3 - 270^2
D = 0 + 4000m + 100m^2 + 4m^3
D = 4m(m^2 + 100m + 1000)

Дискриминант больше нуля, если m(m^2 + 100m + 1000) > 0. Решаем неравенство:
m > 0 или m^2 + 100m + 1000 > 0

Дискриминант квадратного уравнения m^2 + 100m + 1000 равен 100^2 - 411000 = 10000 - 4000 = 6000. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два действительных корня при любых значениях m.

Итак, уравнение x^3 + 10x^2 - mx = 0 имеет два различных корня при любых значениях m.