Показать что функция y=x*e^(1/x) является решением x^3*y''+x*y'-1=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого факта, вычислим первую и вторую производные функции y=x*e^(1/x) :

y' = e^(1/x) - (1/x)e^(1/x)
y'' = -(1/x^2)e^(1/x) - (1/x^2)e^(1/x) + (1/x^2)e^(1/x) = -(2/x^2)*e^(1/x)

Подставляем найденные производные в начальное уравнение:
x^3(-(2/x^2)e^(1/x)) + x(e^(1/x) - (1/x)e^(1/x)) - 1 = 0
(-2x)e^(1/x) + e^(1/x) - 1 = 0
e^(1/x)(-2x + 1) - 1 = 0

Упрощаем уравнение:
-e^(1/x) + 1 = 0
1 = e^(1/x)
e = e^(1/x)

Таким образом, уравнение x^3y'' + xy' - 1 = 0 выполняется для функции y=x*e^(1/x).