Задача по геометрии В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер:
АВ = √3, АD = √6 и АА1 = √5. Найдите угол между прямыми A1B и AC1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти угол между прямыми A1B и AC1, необходимо найти угол между векторами A1B и AC1.

Известно, что вектор AB = B - A1, вектор AC = C - A1. Тогда векторное произведение векторов A1B и AC равно:
A1B x AC = (B - A1) x (C - A1).

Длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны:
AB = √3,
AD = √6,
AA1 = √5.

По условию, рассмотрим треугольник ABC:
AB² + AC² = BC²,
3 + 5 + (BC)² = 6,
BC = √4 = 2.

Таким образом, длина стороны BC равна 2, и координаты точки C равны (2, 0, 0).

Имеем векторные координаты:
B = (3, 0, 0),
C = (2, 0, 0),
A1 = (0, 0, √5).

Тогда векторное произведение A1B и AC равно:
A1B x AC = (3, 0, -√5).

Длина вектора A1B x AC:
|A1B x AC| = √(3² + 0 + (-√5)²) = √(9 + 5) = √14.

Теперь найдем длины векторов A1B и AC:
|A1B| = |B - A1| = √((3 - 0)² + 0 + (0 - √5)²) = √(9 + 5) = √14,
|AC| = |C - A| = √((2 - 0)² + 0 + (0 - √5)²) = √(4 + 5) = √9 = 3.

Используем формулу скалярного произведения векторов a и b:
a b = |a| |b| * cos(угол между a и b).

cos(угол между A1B и AC) = (A1B x AC) AC / (|A1B| |AC|) = √14 / (3 * √14) = 1/3.

Тогда угол между прямыми A1B и AC1 равен arccos(1/3) ≈ 70.53°.