Комплексные числа. Ряды из комплексных чисел. Как доказать, что для сходимости ряда из комплексных чисел необходимо и достаточно, чтобы сходились два ряда составленные из действительной и мнимой части компл. числа?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан ряд из комплексных чисел (z_n = x_n + iy_n), где (x_n) и (y_n) - это действительная и мнимая части соответственно.

Необходимость:
Если ряд (\sum_{n=1}^{\infty} zn) сходится, то сходятся ряды (\sum{n=1}^{\infty} xn) и (\sum{n=1}^{\infty} y_n).

Доказательство:
Пусть сходится ряд (\sum_{n=1}^{\infty} zn) и его сумма равна (S). Рассмотрим частичные суммы рядов (\sum{n=1}^{N} zn), (\sum{n=1}^{N} xn) и (\sum{n=1}^{N} y_n). Так как ряд (\sum z_n) сходится, то последовательность частичных сумм ограничена и имеет предел (S). Таким образом, ряды (\sum x_n) и (\sum y_n) сходятся.

Достаточность:
Если сходятся ряды (\sum x_n) и (\sum y_n), то сходится ряд (\sum z_n).

Доказательство:
Пусть ряды (\sum x_n) и (\sum y_n) сходятся и их суммы равны (X) и (Y) соответственно. Рассмотрим частичные суммы ряда (\sum z_n = \sum (x_n + iy_n)) как сумму частичных сумм рядов (\sum x_n) и (\sum y_n). Так как ряды (\sum x_n) и (\sum y_n) сходятся, то ряд (\sum z_n) также сходится.

Таким образом, для сходимости ряда из комплексных чисел необходимо и достаточно, чтобы сходились два ряда составленные из действительной и мнимой части комплексного числа.