Для вычисления данного интеграла используем замену переменной. Пусть u = cos(x), тогда du = -sin(x)dx.

Таким образом, интеграл преобразуется следующим образом:

∫ sin(x) / √(cos^2(x) + 2) dx = -∫ du / √(u^2 + 2) = -∫ du / √(2 + u^2)

Далее проведем замену переменной v = u / √2, тогда du = √2 dv:

-∫ du / √(2 + u^2) = -∫ √2 dv / √(2 + 2v^2) = -∫ dv / √(1 + v^2) = -arcsinh(v) + C

Теперь возвращаем u и x в исходный интеграл:

= -arcsinh(u / √2) + C

Подставляем обратно u = cos(x):

= -arcsinh(cos(x) / √2) + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл sin(x) / корень( cos^2(x) + 2) равен -arcsinh(cos(x) / √2) + C.