Натуральные числа m и n такие, что (4m-n)(n+m)=6m2 . Доказать, что n делиться на m.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $(4m-n)(n+m)=6m^2$. Раскроем скобки:

$4mn + 4m^2 - n^2 - n^2 = 6m^2$

$4m^2 + 4mn - 2n^2 = 6m^2$

$4m^2 + 4mn - 2n^2 - 6m^2 = 0$

$-2m^2 + 4m(n - 3) - 2n^2 = 0$

$2(m^2 - 2m(n-3) + (n-3)^2) - 6(n-3)^2 = 0$

$2(m - n + 3)^2 = 6(n-3)^2$

$m - n + 3 = \pm 3(n-3)$

$m - n + 3 = \pm 3n - 9$

$m - n + 3 = 3n - 9$ либо $m - n + 3 = -3n + 9$

$m - 4n + 3 = 3$ либо $m + 2n + 3 = 3$

$m - 4n = 0$ либо $m = -2n$

$m = 4n$ или $m = -2n$

Таким образом, из полученного уравнения следует, что $n$ делится на $m$.