Дан параллелограмм АВСD. Биссектриса острого угла А пересекает сторону ВС в точке Е. Биссектриса тупого угла D пересекает сторону ВС в точке F. Чему равна длина отрезка ЕF, если АВ=9см, ВС=10см?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи посмотрим на треугольники ABE и CDF.

Поскольку AE - биссектриса угла A, то треугольник ABE равнобедренный и ∠AEB = ∠ABE. Аналогично, поскольку CD - биссектриса угла D, то треугольник CDF равнобедренный и ∠CDF = ∠CDF.

Таким образом, треугольники ABE и CDF подобны, поскольку у них углы при основании равны. Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны.

Отсюда получаем:

AB/CD = AE/CF

9/10 = AE/CF

CF = 10 * AE / 9

Так как AE + CF = 10, то

AE + 10 * AE / 9 = 10

19AE/9 = 10

AE = 90/19

CF = 190/19 - AE = 100/19

Теперь длину отрезка EF можем найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника CEF:

EF^2 = CE^2 + CF^2

EF^2 = (AB + AE)^2 + CF^2

EF^2 = (9 + 90/19)^2 + (100/19)^2

EF^2 = 171/19 + 100/19

EF^2 = 271/19

EF = √(271/19) = √271 / √19 = √(271 * 19) / 19 = √5149 / 19 = 71/19

Итак, длина отрезка EF равна 71/19 см.