Докажите, что: а) ad+bc+ac+bd делится на a+b; б) если ad+bc делится на a+b, то и ac+bd делится на а+b; в) если ad+bc не делится на a+b, то и ac+bd не делится на a+b;

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поделим выражение ad + bc + ac + bd на a + b:

(ad + ac) + (bc + bd) = a(d + c) + b(c + d).

После раскрытия скобок получаем: ad + bc + ac + bd.

То есть, (ad + bc + ac + bd) делится на a + b.

б) Пусть ad + bc делится на a + b. Тогда есть такое число k, что ad + bc = k(a + b).

Добавим и вычтем выражение ac + bd к левой части:

ad + bc + ac + bd = k(a + b) + ac + bd = k(a + b) + a(c + d).

Факторизуем: a(k + c) + b(k + d).

Так как k, c и d — целые числа, то k + c и k + d также являются целыми числами. То есть, ac + bd также делится на a + b.

в) По условию, ad + bc не делится на a + b.

Предположим, что ac + bd делится на a + b.

Тогда есть такое число k, что ac + bd = k(a + b).

Добавим и вычтем выражение ad + bc к левой части:

ac + bd + ad + bc = k(a + b) + ad + bc = k(a + b) + a(d + c).

Факторизуем: a(k + d) + b(k + c).

Так как k, c и d — целые числа, то k + d и k + c также являются целыми числами. То есть, ad + bc также делится на a + b.

Противоречие. Следовательно, ac + bd не делится на a + b.