1. Покажите, что произведение суммы любых двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4. 2. За каждый удачный выстрел стрелку начисляют 8 очков, а за каждый неудачный – снимают 27 очков. Сделав меньше 40 выстрелов, стрелок набрал 97 очков. Сколько удачных и сколько неудачных выстрелов он сделал?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть два положительных числа a и b. Тогда мы имеем:

a + b >= 2√ab (неравенство о средних арифметическом и геометрическом)
1/a + 1/b >= 2/(√ab) (неравенство о средних арифметическом и гармоническом)

Умножим оба неравенства:

(a + b)(1/a + 1/b) >= 4

(a + b + 1/a + 1/b) >= 4

(a + 1/a) + (b + 1/b) >= 4

Так как a и b положительные числа, то (a + 1/a) и (b + 1/b) >=2 (по неравенству о средних арифметическом и гармоническом)

Итак, (a + 1/a) + (b + 1/b) >= 2 + 2 = 4

Таким образом, произведение суммы двух положительных чисел и суммы их обратных величин не меньше 4.

Пусть удачных выстрелов было x, а неудачных - y.
Тогда у нас есть система уравнений:
8x - 27y = 97 (общее количество очков)
x + y < 40 (общее количество выстрелов)

Решая данную систему уравнений, получаем x = 5, y = 6.
Итак, стрелок сделал 5 удачных и 6 неудачных выстрелов.