Дана функция: у=0,5х^4-4х^2. Найти: а)промежутки возрастания и убывания функции. б)точки экстремума в)наиб.,наим. значения функции на отрезке [-1;3]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции нужно найти производную функции и найти ее корни. Производная функции y = 0.5x^4 - 4x^2 равна y' = 2x^3 - 8x. Найдем корни производной:

2x^3 - 8x = 0
2x(x^2 - 4) = 0
2x(x - 2)(x + 2) = 0
Таким образом, корнями производной являются x = 0, x = 2, x = -2. Разобьем ось x на интервалы с этими корнями: (-бесконечность, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +бесконечность).

Подставим произвольные значения x из каждого интервала в производную:
1) При x < -2: y' < 0, функция убывает
2) При -2 < x < 0: y' > 0, функция возрастает
3) При 0 < x < 2: y' < 0, функция убывает
4) При x > 2: y' > 0, функция возрастает

б) Для нахождения точек экстремума найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю. Вторая производная функции y = 0.5x^4 - 4x^2 равна y'' = 6x^2 - 8. Найдем корни второй производной:

6x^2 - 8 = 0
6x^2 = 8
x^2 = 4/3
x = ±√(4/3)

То есть, точками экстремума будут x = -√(4/3) и x = √(4/3).

в) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1, 3], подставим крайние точки отрезка и найденные точки экстремума в функцию у = 0.5x^4 - 4x^2:

y(-1) = 0.5(-1)^4 - 4(-1)^2 = 0.5 + 4 = 4.5
y(3) = 0.5(3)^4 - 4(3)^2 = 40.5 - 36 = 4.5
y(-√(4/3)) ≈ -2.31
y(√(4/3)) ≈ -2.31

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1, 3] равно 40.5, наименьшее значение - 4.5.