Обратим внимание на куб уравнения x + 1/x = 1:
(x + 1/x)^3 = 1
При раскрытии скобок получаем:
x^3 + 1 + 3x^2 (1/x) + 3x (1/x)^2 + (1/x)^3 = 1
x^3 + 1 + 3x + 3/x + 1/x^3 = 1
Подставим полученное в уравнение x^7 + 1/x^7:
(x^7 + 1/x^7) = (x^3 + 1/x^3) * (x^4 + 1/x^4) - (x + 1/x)
(x^7 + 1/x^7) = (3x + 3/x) * (x^4 + 1/x^4) - 1
Теперь воспользуемся известным выражением x^4 + 1/x^4:
(x^4 + 1/x^4) = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2
(x^4 + 1/x^4) = (1 - 2)^2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3
Подставляем в изначальное уравнение:
(x^7 + 1/x^7) = (3x + 3/x) * (-3) - 1
(x^7 + 1/x^7) = -9x - 9/x - 1
Осталось вспомнить условие x + 1/x = 1:
(x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 = 1 - 2 = -1
(x^7 + 1/x^7) = -9 * 1 - 9 - 1 = -10
Итак, x^7 + 1/x^7 = -10.
Обратим внимание на куб уравнения x + 1/x = 1:
(x + 1/x)^3 = 1
При раскрытии скобок получаем:
x^3 + 1 + 3x^2 (1/x) + 3x (1/x)^2 + (1/x)^3 = 1
x^3 + 1 + 3x + 3/x + 1/x^3 = 1
Подставим полученное в уравнение x^7 + 1/x^7:
(x^7 + 1/x^7) = (x^3 + 1/x^3) * (x^4 + 1/x^4) - (x + 1/x)
(x^7 + 1/x^7) = (3x + 3/x) * (x^4 + 1/x^4) - 1
Теперь воспользуемся известным выражением x^4 + 1/x^4:
(x^4 + 1/x^4) = (x^2 + 1/x^2)^2 - 2
(x^4 + 1/x^4) = (1 - 2)^2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3
Подставляем в изначальное уравнение:
(x^7 + 1/x^7) = (3x + 3/x) * (-3) - 1
(x^7 + 1/x^7) = -9x - 9/x - 1
Осталось вспомнить условие x + 1/x = 1:
(x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 = 1 - 2 = -1
(x^7 + 1/x^7) = -9 * 1 - 9 - 1 = -10
Итак, x^7 + 1/x^7 = -10.