Делится ли 3^999 + 4^999 на 7 ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для ответа на данный вопрос мы можем воспользоваться теоремой Ферма о малой теореме. Согласно этой теореме, если p - простое число, а a - целое число, не делящееся на p, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Так как 3 и 7 взаимно простые числа, то 3^6 ≡ 1 (mod 7) по теореме Ферма. Это значит, что 3^999 = (3^6)^166 3^3 ≡ 1^166 27 ≡ 6 (mod 7).

Аналогично, так как 4 и 7 взаимно простые числа, то 4^6 ≡ 1 (mod 7). Это значит, что 4^999 = (4^6)^166 4^3 ≡ 1^166 64 ≡ 1 (mod 7).

Таким образом, 3^999 + 4^999 ≡ 6 + 1 ≡ 0 (mod 7), что означает, что 3^999 + 4^999 делится на 7.