Для доказательства данного тождества мы будем использовать тригонометрические тождества и свойства квадратов тригонометрических функций.

Начнем с левой части уравнения:
(sin alpha + cos alpha)²
= sin²alpha + 2sin alpha cos alpha + cos²alpha
= 1 - cos²alpha + 2sin alpha cos alpha + cos²alpha
= 1 + 2sin alpha cos alpha.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения:
2 - (sin alpha - cos alpha)²
= 2 - (sin²alpha - 2sin alpha cos alpha + cos²alpha)
= 2 - sin²alpha + 2sin alpha cos alpha - cos²alpha
= 1 + 2sin alpha cos alpha.

Таким образом, мы видим, что левая и правая части уравнения равны друг другу:
(sin alpha + cos alpha)² = 2 - (sin alpha - cos alpha)².

Таким образом, мы доказали данное тригонометрическое тождество.