Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим скорость катера ( V ) км/ч. Тогда скорость катера против течения реки будет равна ( V - 3 ) км/ч, а по течению - ( V + 3 ) км/ч.

Рассмотрим первый участок пути, когда катер проходит 12 км против течения реки. Время на этот участок пути равно:

[ t_1 = \frac{12}{V - 3} ]

Рассмотрим второй участок пути, когда катер проходит 5 км по течению реки. Время на этот участок пути равно:

[ t_2 = \frac{5}{V + 3} ]

Так как оба участка пути заняли столько же времени, сколько катер бы потратил на преодоление расстояния 18 км по озеру, то:

[ t_1 + t_2 = \frac{12}{V - 3} + \frac{5}{V + 3} = \frac{18}{V} ]

Умножаем уравнение на ( V(V - 3)(V + 3) ) и получаем:

[ 18V(V + 3) + 5V(V - 3) = 12V(V - 3)(V + 3) ]

[ 18V^2 + 54V + 5V^2 - 15V = 12V^3 - 36V^2 ]

[ 23V^2 + 39V = 12V^3 ]

[ 12V^3 - 23V^2 - 39V = 0 ]

[ V(12V^2 - 23V - 39) = 0 ]

[ V = 0 ] (т.к. ( V > 0 )) либо

[ 12V^2 - 23V - 39 = 0 ]

Решив квадратное уровнение, находим два корня: ( V_1 \approx 3,36 ) и ( V_2 \approx -2,61 ). Т.к. скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна приближенно 3,36 км/ч.