Решите уравнение sin2x+1=sinx+cosx.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения преобразуем его следующим образом:

sin^2x + 1 = sinx + cosx

sin^2x + cos^2x + 1 = sinx + cosx + sinx + cosx

1 + sin(2x) = 2(sin(x) + cos(x))

sin(2x) = 2(sin(x) + cos(x)) - 1

теперь воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

таким образом, получаем уравнение:

2sin(x)cos(x) = 2(sin(x) + cos(x)) - 1

2sin(x)cos(x) = 2sin(x) + 2cos(x) - 1

теперь преобразуем уравнение:

2sin(x)cos(x) - 2sin(x) - 2cos(x) + 1 = 0

2sin(x)(cos(x) - 1) - 2(cos(x) - 1) = 0

(2sin(x) - 2)(cos(x) - 1) = 0

таким образом, у нас два уравнения:

2sin(x) - 2 =
sin(x) = 1

cos(x) - 1 =
cos(x) = 1

Из первого уравнения получаем sin(x) = 1, что возможно только при x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Из второго уравнения получаем cos(x) = 1, что возможно только при x = 0 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решениями уравнения sin(2x) + 1 = sin(x) + cos(x) являются x = π/2 + 2πn и x = 0 + 2πn, где n - целое число.