Докажите, что ( m²+m+1)², где m - целое число, можно представить в виде суммы трех квадратов целых чисел

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для этого разложим квадрат (m² + m + 1)²:

(m² + m + 1)² = m^4 + 2m^3 + m^2 + 2m^3 + 4m^2 + 2m + m^2 + 2m + 1
= m^4 + 5m^3 + 6m^2 + 4m + 1

Теперь представим многочлен m^4 + 5m^3 + 6m^2 + 4m + 1 в виде суммы трех квадратов целых чисел:

m^4 + 5m^3 + 6m^2 + 4m + 1 = (m^2 + 2m + 1)² + 3m^2 + m
= (m^2 + 2m + 1)² + m^2 + m^2 + m
= (m^2 + 2m + 1)² + m(m + 1)(m + 1)

Таким образом, мы представили (m² + m + 1)² в виде суммы трех квадратов целых чисел.